{
  "nbformat": 4,
  "nbformat_minor": 0,
  "metadata": {
    "colab": {
      "name": "разбор ДЗ 1.ipynb",
      "provenance": []
    },
    "kernelspec": {
      "display_name": "Python 3 (ipykernel)",
      "language": "python",
      "name": "python3"
    },
    "language_info": {
      "codemirror_mode": {
        "name": "ipython",
        "version": 3
      },
      "file_extension": ".py",
      "mimetype": "text/x-python",
      "name": "python",
      "nbconvert_exporter": "python",
      "pygments_lexer": "ipython3",
      "version": "3.8.12"
    }
  },
  "cells": [
    {
      "cell_type": "markdown",
      "metadata": {
        "id": "qZbgttt-SEZS"
      },
      "source": [
        "# Линейное пространство. Основные понятия. Часть 1"
      ]
    },
    {
      "cell_type": "markdown",
      "metadata": {
        "id": "CH36mj15SEZv"
      },
      "source": [
        "# Домашнее задание"
      ]
    },
    {
      "cell_type": "markdown",
      "metadata": {
        "id": "2sJDt8-uSEZx"
      },
      "source": [
        "__1.__ Исследовать на линейную зависимость:\n",
        "\n",
        "### $$f_{1}(x)=e^{x}, \\,\\,f_{2}(x)=1, \\,\\,f_{3}(x)=x+1, \\,\\,f_{4}(x)=x-e^{x}.$$"
      ]
    },
    {
      "cell_type": "markdown",
      "metadata": {
        "id": "5ZvZ69XcSEZz"
      },
      "source": [
        "__Решение__"
      ]
    },
    {
      "cell_type": "markdown",
      "metadata": {
        "id": "n7Tjy9QXSEZ0"
      },
      "source": [
        "Заметим, что \n",
        "\n",
        "### $$f_{4}(x)=f_{3}(x)-f_{2}(x)-f_{1}(x) = x+1-1-e^{x} = x-e^{x},$$ \n",
        "то есть один из векторов является линейной комбинацией двух остальных. Из этого следует, что векторы линейно зависимы."
      ]
    },
    {
      "cell_type": "markdown",
      "metadata": {
        "id": "cn9_3Ac0SEZ2"
      },
      "source": [
        "__2.__ Исследовать на линейную зависимость:\n",
        "\n",
        "### $$f_{1}(x)=2,\\,\\, f_{2}(x)=x, \\,\\,f_{3}(x)=x^{2}, \\,\\,f_{4}(x)=(x+1)^{2}.$$"
      ]
    },
    {
      "cell_type": "markdown",
      "metadata": {
        "id": "HeAvduZNSEZ-"
      },
      "source": [
        "__Решение__"
      ]
    },
    {
      "cell_type": "markdown",
      "metadata": {
        "id": "qkV-iWTKSEZ_"
      },
      "source": [
        "Заметим, что \n",
        "\n",
        "### $$f_{4}(x)=f_{3}(x)+2f_{2}(x)+0.5f_{1}(x) = x^{2}+2x+1 = (x+1)^{2},$$\n",
        "\n",
        "то есть один из векторов является линейной комбинацией двух остальных. Из этого следует, что векторы линейно зависимы."
      ]
    },
    {
      "cell_type": "markdown",
      "metadata": {
        "id": "722y6Vy3SEaB"
      },
      "source": [
        "__3.__ Найти координаты вектора $x = (2, 3, 5)\\in \\mathbb{R}^{3}$ в базисе $b_{1}=(0, 0, 10)$, $b_{2}=(2, 0, 0)$, $b_{3}=(0, 1, 0)$."
      ]
    },
    {
      "cell_type": "markdown",
      "metadata": {
        "id": "gXPmS8xVSEaD"
      },
      "source": [
        "__Решение__"
      ]
    },
    {
      "cell_type": "markdown",
      "metadata": {
        "id": "sCCesHUDSEaE"
      },
      "source": [
        "### $$x=(2, 3, 5)=(2,0,0)+(0, 3, 0)+(0, 0, 5)=$$\n",
        "### $$=0.5\\cdot(0, 0, 10)+1\\cdot(2, 0, 0)+3\\cdot(0, 1, 0)=0.5b_{1}+b_{2}+3b_{3},$$\n",
        "то есть координатами вектора $x$ в данном базисе являются $(0.5, 1,3)$."
      ]
    },
    {
      "cell_type": "markdown",
      "metadata": {
        "id": "eKerXGBHSEaF"
      },
      "source": [
        "__4.__ Найти координаты вектора $3x^{2}-2x+2\\in\\mathbb{R}^{3}[x]$:\n",
        "\n",
        "   а) в базисе $1$, $x$, $x^{2}$;\n",
        "\n",
        "   б) в базисе $x^{2}$, $x-1$, $1$."
      ]
    },
    {
      "cell_type": "markdown",
      "metadata": {
        "id": "vdKoGKyoSEaF"
      },
      "source": [
        "__Решение__"
      ]
    },
    {
      "cell_type": "markdown",
      "metadata": {
        "id": "iaAstcPCSEaG"
      },
      "source": [
        "а) Координаты вектора $3x^{2}-2x+2\\in\\mathbb{R}^{3}[x]$ в базисе $1$, $x$, $x^{2}$ равны:  $(2, -2, 3)$"
      ]
    },
    {
      "cell_type": "markdown",
      "metadata": {
        "id": "oemQZoszSEaG"
      },
      "source": [
        "б) Координаты вектора $3x^{2}-2x+2\\in\\mathbb{R}^{3}[x]$ в базисе $x^{2}$, $x-1$, $1$ равны:  $(3, -2, 0)$"
      ]
    },
    {
      "cell_type": "markdown",
      "metadata": {
        "id": "P4zwr0-RSEaH"
      },
      "source": [
        "__5.__ Установить, является ли линейным подпространством:\n",
        "\n",
        "а) совокупность всех векторов трехмерного пространства, у которых по крайней мере одна из первых двух координат равна нулю;\n",
        "    \n",
        "б) все векторы, являющиеся линейными комбинациями данных векторов $\\{u_{1}, u_{2}, ..., u_{n}\\}$."
      ]
    },
    {
      "cell_type": "markdown",
      "metadata": {
        "id": "YX7Eh2pXSEaH"
      },
      "source": [
        "__Решение__"
      ]
    },
    {
      "cell_type": "markdown",
      "metadata": {
        "id": "9qin49QvSEaH"
      },
      "source": [
        "а) Есть три варианта: либо первая координата равна нулю $(0, a, b)$ - вектора параллельны плоскости $YoZ$ , либо вторая координата равна нулю $(c, 0, d)$ - вектора параллельны плоскости $XoZ$, либо обе первых координат равны нулю $(0, 0, e)$ - вектора параллельны оси $Z$."
      ]
    },
    {
      "cell_type": "markdown",
      "metadata": {
        "id": "BCosd8dtSEaI"
      },
      "source": [
        "Проведем проверку для случая, когда у первого вектора первая координата равна нулю, а у второго - вторая:"
      ]
    },
    {
      "cell_type": "markdown",
      "metadata": {
        "id": "7JrnQfEZSEaI"
      },
      "source": [
        "### $$(0, a, b)+(c, 0, d) = (c, a, b+d),$$ "
      ]
    },
    {
      "cell_type": "markdown",
      "metadata": {
        "id": "Or2q_8SlSEaJ"
      },
      "source": [
        "Полученные векторы не принадлежат указанному в задании множеству всех векторов, то есть данное множество не является подпространством линейного пространства $\\mathbb{R}^{3}$."
      ]
    },
    {
      "cell_type": "markdown",
      "metadata": {
        "id": "oONFhpYdSEaJ"
      },
      "source": [
        "б) Результаты операций $\\ u+v$ и $\\ \\alpha\\cdot u$ также будут являться линейными комбинациями заданных векторов $\\{u_{1}, u_{2}, ..., u_{n}\\}$, поэтому все векторы, являющиеся линейными комбинациями данных векторов $\\{u_{1}, u_{2}, ..., u_{n}\\}$ будут являться линейным подпространством."
      ]
    }
  ]
}